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《怎樣解題》 (How To Solve It: A New Aspect of Mathematical Method)
作者 波利亞
譯者 蔡坤憲
出版社 天下文化出版股份有限公司
ISBN 4713510945322
分類 自然科學 > 數學 > 其他
價格 HK$110.00
 
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任何領域的每一個人,都必須學會怎樣解題。

本書作者波利亞,是數學教育史上極重要的數學教育家,《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代表作,自出版以來,已經影響了一代又一代的讀者。在書中,波利亞提出了解題的四大步驟,並且穿插了範例,你可以跟著波利亞的腳步,學會如何從推理與提問,直搗證明題或求解題的核心,而這樣的數學方法,對解決任何問題都有幫助。
熟讀《怎樣解題》,你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。


作者簡介:

波利亞(G. Polya),1887年生於匈牙利布達佩斯,父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學,在布達佩斯大學取得數學博士學位。

第一次世界大戰期間,波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院(ETH)擔任教職,於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。

1940年,由於歐陸政治情勢,被迫移民美國,1943年起獲聘為史丹福大學的教授,直到1953年榮譽退休。退休後,波利亞仍十分忙碌,除了繼續在史丹福授課,更熱心數學教育,致力研究數學問題的解題策略。

波利亞是二十世紀極重要的數學家、數學教育家。在純數學領域,他與Gabor Szego合寫了《分析中的問題與定理》(Problems and Theorems in Analysis)這部傑作;在數學學習及教學方面,除了《怎樣解題》,還陸續出版了《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning,共兩卷)與《數學的發現》(Mathematical Discovery,共兩卷)。


譯者簡介:

蔡坤憲,東海大學物理系畢業,國立交通大學電子物理所碩士,曾在中學服務三年,任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學(University of Waikato)科學與科技教育研究中心,攻讀科學教育博士學位,研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計;也在懷大物理系兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。

譯有《觀念物理II:轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》,著有《觀念物理VI:習題解答》(皆為天下文化出版)。


第一部 在教室裡

主要步驟及主要提問

6. 四個階段

在尋求解答的過程中,我們的想法往往會一再改變,看待問題的方式與觀點,也都會一再產生變化。在剛開始解題時,我們對問題的了解可能很有限,也不完整;在有些進展以後,會對問題產生不同的了解;到了快要知道答案的時候,對問題自然又有一番新的認識。

為了方便把「提示表」上的提問和建議分門別類,做個整理,我們把解題活動分成四個主要階段:首先,我們必須要了解問題:我們必須很清楚地知道,什麼是我們要尋找的解答。第二,我們必須要了解問題裡存在的各個關係,例如已知數和未知數之間有什麼關係,並據此擬定一個計畫,來求得解答。第三,我們確實動手來執行計畫(數學計算)。最後,我們要回顧整個解答過程,驗算答案並討論它的意義。

每個階段都有它的重要性。有時候,學生也許會靈光一閃,可以跳過所有的準備步驟,直接得出解答。當然很多人都希望能有這種幸運的時光;但是相對來說,沒有人會希望,在辛辛苦苦經歷這四個階段之後,卻還是無法得出什麼好點子。最糟的情形則是,學生在了解問題之前,就匆匆動手開始計算。一般來說,在不了解問題的整體關聯,或是心裡還沒有份計畫之前,就開始從事細節的計算工作,往往是無濟於事的。此外,在執行計畫(計算)的過程中,如果學生可以一步一步地檢查,往往可以避免很多錯誤與疏失。若少了驗算,或是沒有回顧一下解答的過程,則往往無法從解題的活動中,獲得最佳的結果。

7. 了解問題

去回答一個你不了解的問題,實在是件愚蠢的事情。為了你不想得到的結果,卻又必須辛勤工作,實在很令人沮喪。不論在學校裡或學校外,這類愚蠢而又令人沮喪的事,卻經常發生。老師實在應該避免讓這類的事情,在他的課堂上發生。學生應該要了解問題,但是,光只有了解問題是不夠的,他們還應該要有份渴望或動機,希望去把解答找出來。如果學生缺乏對問題的了解或興趣,這並不全然是他們的錯;選題或出題要恰當,不要太難,也不要太簡單,並要自然而有趣,而且要有足夠的時間,來對題目做自然而有趣的說明。

首先,題目的敘述,必須是學生所能理解的。在某個程度上,老師可以檢查這點;他可以要求學生再說一次問題,學生應該可以很流利地複述出問題。學生應該也可以指出問題裡的主要部分為何:未知數、已知數和已知的條件等。所以,老師實在很難會漏掉「什麼是未知數?」「什麼是已知數?」「有哪些已知條件?」這些問題。

學生應該要很小心地、反覆地、並從不同的角度來考慮問題的主要部分。如果題目需要圖形的輔助,就畫個圖,並在圖上標示出未知數和已知數。若需要對圖裡的物件(對象)命名,就要使用適當的符號或記號;花點心思選用合適的符號,也能使我們好好思考這些符號所代表的對象本身。在這個準備階段裡,其實我們並沒有預期一個確切的答案,所需要的只是一個猜測或暫時的答案,所以還有一個可能有用的提問:這個答案能否滿足所給的條件?

本書第二部裡把「了解問題」這一階段,又細分為兩個階段:「認識問題」與「進一步了解問題」。

8. 例子

我們舉些例子,來說明前面所說的要點。我們用下面這個簡單的題目為例:已知某長方體之長、寬、高,求對角線長度?

為了要讓討論更具意義些,學生最好已經熟悉畢氏定理以及此定理在平面幾何上的一些應用,但卻不熟悉三維空間的立體幾何。老師可以從學生還不甚熟悉的空間觀念出發。

老師可以把問題「具體化」,讓它變得有趣些。教室正好是個長方體,它的長、寬、高都可以直接測量或估計出來,因此,學生必須找出或「間接測量」出教室的對角線長度。老師可以透過手勢或肢體語言,比劃出教室的長、寬、高,及其與對角線之間的關係,並在黑板上畫圖;視學生的反應,這個過程也許需要重複個幾次。

師生之間的對話,可以這麼開始:
「未知數是什麼?」
「長方體的對角線長度。」
「有哪些已知數?」
「長方體的長、寬、高。」
「請你引入適當的記號。該用什麼字母來表示未知數?」
「x。」「你會想用哪些字母來表示長、寬、高呢?」
「a、b、c。」
「a、b、c與x之間,必須滿足什麼條件?」
「x是長方體的對角線長度,長方體的長、寬、高分別是a、b、c。」
「這個問題合理嗎?我的意思是,已知的條件足以決定未知數嗎?」
「足夠了。因為如果長、寬、高(a、b、c)已知,長方體就已知。如果長方體確定了,那麼它的對角線長度也就確定了。」

9. 擬定計畫

當我們知道(或至少大概知道)需要有哪些計算、演算步驟或圖形,才能求出未知數時,我們算是已經有個解題計畫了。從了解問題,到能夠產生解題計畫,可能是個漫長而崎嶇的過程。事實上,解題過程中的最主要成就,就是構思出解題計畫。解題的想法,可能是逐漸形成的,也可能是在經歷一連串的嘗試錯誤及猶豫遲疑之後,忽然靈光一閃而找到的「靈感」。老師能給學生的最大貢獻,就是不露痕跡地幫學生找到靈感。在這一節裡,我們所要討論的提問與建議,就是如何去激發出這些靈感。

為了能夠從學生的角度想事情,老師要去思索自己在解題過程中,所遭遇過的困難與成功經驗。

當然,我們知道,如果我們對問題所知有限,是很難產生什麼好想法的。若是對問題全然無知,則根本不可能會有任何想法產生。好的想法,是建築在過去的經驗,以及所學習過的知識之上的。單純地記憶知識,是不足以製造出好的想法的;然而,完全沒有知識,卻也無法產生任何想法。就像光只有磚頭、木材等材料,是不足以蓋好一間房子的,但是,少了這些必要的建築材料,也沒辦法蓋好房子。求解數學問題所需要的基本材料,就是課堂上正式教導的數學知識,例如正式介紹過的例題,或證明過的定理。因此,一個常見的恰當提問可以是:你知道有什麼相關的問題嗎?

但是,困難的地方是,有太多的問題,都和眼前待解的問題相關,也就是說,有太多的問題,和目前的問題有共同點。如何從這麼多的問題中,挑選出一個(或少數幾個)真正有用的問題,才是關鍵所在。有個建議可以幫助我們明確地找到真正的共同點:仔細看未知數!然後試著想想,有否有什麼類似題,帶有相同或相似的未知數。

如果可以想起以前解過的某個例題,非常類似目前的問題,那很幸運!我們應該好好珍惜這份幸運,好好地利用這道例題:這是個和目前相關,而且以前已經解過的問題,你可以怎麼利用它呢?

若能好好地了解並仔細考慮前述這些提問,通常都能引導出一系列有幫助的好想法;然而,它們並非萬靈丹,偶而還是無法引導出好的想法。這時候,我們必須試著由其他的角度出發,來探索問題;此時,我們需要改變、轉化或修改原本的問題。你可以重述問題嗎?提示表中的某些提問,就是專門用來改變問題的,例如:一般化、特殊化、利用類比、除去部分條件等等,這些細節當然很重要,但是我們現在暫時無法一一深究。對題目做些修改,可能可以引導出一些適當的輔助問題:如果你無法解出眼前的問題,那麼先試著解一些相關的問題。

試著運用不同的已知問題或定理,考慮各種可能的修改方式,實驗各種不同的輔助問題,種種這些嘗試也許會讓我們偏離原來的問題,甚至完全迷失方向。然而,有個很好的提問,可以幫我們找回焦點:你是否使用了所有的已知數?你是否使用了全部的條件?

10. 例子

再回到第8節所舉的例子。此時,學生剛剛成功地對問題有初步的了解,也對解題產生了一些興趣。他們現在可能有些自己的想法或初步的計畫。

然而,如果老師在仔細的觀察之後,仍然看不出學生有任何初步的解題計畫,那麼他就必須要小心地重新開啟和學生之間的對話。他必須準備去重複一些提問,而學生可能還是無法回答這些已經稍加修改過的提問。他也必須準備好,去處理學生因為困窘而產生的沉默(我們以刪節號「……」來表示學生的靜默)。

「你可知道有什麼相關的題目嗎?」

……

「仔細看未知數!有沒有什麼其他的問題,帶有相同的未知數?」

……

「好,未知數是什麼?」
「長方體的對角線。」
「有沒有什麼類似題,帶有相同的未知數?」
「不知道,我們還沒有學過任何關於長方體對角線的問題。」
「有沒有任何一個問題,有類似的未知數?」

……

「給你一點提示,對角線是一條線段,線段是條直線。你從來沒有解過未知數是條直線的問題嗎?」
「當然有,我們解過一些類似的問題,例如求直角三角形的邊長。」
「很好,這就是一個和眼前相關的題目,而且你已經解過了。你可以把它運用到現在的題目上嗎?」

……

「你很幸運能記得一個以前解過的問題,而且和現在這個問題有關係。你想不想運用一下呢?可不可以想到什麼輔助元素,來讓以前這個問題變得有用呢?」

……

「看,你記得的問題裡有個三角形。那麼這個問題中的長方體裡是否也有個三角形呢?」

我們希望最後的這個提示已經足夠清楚,可以幫助學生想到,解題的關鍵想法,就是引進一個直角三角形(如圖1所示),而長方體的對角線就是這個三角形的斜邊。然而,老師必須有心理準備,即使這個提示已經很明顯了,但對學生來說,可能還是不夠清楚,所以老師還需要再準備一個比一個更明顯的提示才行。譬如:

「你可以在圖中,畫出一個三角形嗎?」
「你希望圖中有什麼樣的三角形呢?」
「雖然你還無法解出對角線,不過你說,你可以找出一個三角形。現在你要試著找找看嗎?」
「你可以看得到對角線嗎?它是不是三角形的某一邊呢?」

不論老師幫了多少忙,當學生終於成功地體認到,圖1的直角三角形,是解題所需的關鍵輔助元素時,老師應該可以相信,在鼓勵學生實際動手計算之前,他們已經想得夠遠了。

「我想,在圖上畫出三角形是個好想法。現在你有三角形了,那麼你有未知數嗎?」
「未知數是三角形的斜邊,這可以由畢氏定理算出來。」
「是的,如果直角三角形的兩股已知的話!可是這兩股是已知數嗎?」
「有一股已知,就是c。至於另外一股,我想,它並不難求出。對了!它是另外一個直角三角形的斜邊長。」
「很好!現在我已經可以看到你的解題計畫了。」

摘自《怎樣解題》第一部:在教室裡


《怎樣解題》是很棒的書!早在多年前,當我還是個學生,第一次讀這本書的時候,我就已經知道它是本好書了,但是,我卻花了很久的時間,才真正體會這本書有多麼棒!為什麼會這樣?部分的理由,是因為這本書很特別。在我做學生與當老師的這些年裡,我從來沒有讀過另外一本書,像波利亞這本書的書名所說的,教你怎麼樣解題。荀菲爾德(A. H. Schoenfeld)1987年在美國數學協會(MAA)的期刊發表的文章〈波利亞、解題與教育〉中,正確地描述出這本書的重要性:「在數學教育以及解題的世界裡,本書為兩個時期清楚地畫下了一條界線:波利亞之前的解題活動,與波利亞之後的解題活動。」

《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次出版以來,銷售已經超過百萬冊,並譯成十七種語言(編注:根據英文版出版社的資料,已經不只十七種了)。波利亞稍後還寫了兩本關於做數學研究這門藝術的書:《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning)(1954)與《數學的發現》(Mathematical Discovery)(共兩卷,1962與1965)。

這本書的書名,讓它看起來好像只是一本為學生所寫的書,但是事實上,它寫給老師的內容,並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裡所說的,本書的第一部,大部分是站在老師的觀點來寫的。

不過,每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書,將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議,彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺,而且很自然地,在我幾年後開始教書時,我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。

然而一直到不久前,我有機會重讀此書,而且在讀完之後,我忽然了解到,這本書的價值比我以前所想像的還高!我自己是學生時,波利亞所給的許多意見,感覺並不太有幫助,然而,這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師,知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。

顯然,波利亞教過的學生比我多,而他也一直很努力地在思考,在數學的學習上,怎麼樣才能對學生最有幫助。也許,他最重要的觀點是:學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裡提到的:「數學,不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『了解』數學,意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作(有能力)『做』數學呢?它的第一個意義就是:有能力去解決一個數學問題。」

我們常說,若要教好某個科目,教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說,有一個很弔詭的事實就是:老師還得知道學生可能會產生什麼樣的誤解!如果老師講述的內容,可以用兩種以上的方式來解讀,那麼必然會導致有些學生理解到其中一種,另外的學生各有體會,極好或極糟的情形皆有。

李特伍德(J. E. Littlewood)舉了兩個有趣的例子,說明我們可能不自覺地就對假設產生誤解。首先,他提到在藍姆(Lamb)的《力學》這本書裡,對座標軸的描述(「因為Ox與Oy是二維平面,所以Oz是垂直的」)是錯誤的,因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作!其次,藍姆要求他的讀者畫一條封閉曲線,讓它完全位於某條切線的一側,然後他說,總共只有四種主要不同的可能性(垂直切線的左方或右方,水平切線的上方或下方),而且在沒有圖形解說的情形下,他假定這條封閉曲線位於它的垂直切線的右方,而不知不覺地忽略了另外三種可能性。

因應這類假定的方法,我想不出有什麼建議比波利亞的更好:在試著解題之前,學生應該要能清楚、明確地展示出自己對問題的理解;最好是有位真實的老師在眼前,否則,也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學家多半知道,數學研究最難的部分,往往就是不容易很明確地了解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況,他們通常也都遵循波利亞的建議:「如果你不能解決眼前的問題,試著從簡單一點的問題著手:把這個問題找出來。」

各位除了可以從這本書的內容學到東西之外,應該也會從作者波利亞的生平事蹟,得到很多啟示。

喬治‧波利亞(George Polya)於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他出生時所取的名字是Gyorgy Polya,稍後才略去這些抑音符號。父親是Jakab Polya,母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩(Jeno、Ilona和Flora)於前一年放棄猶太教而改信天主教,所以喬治一出生就受洗為天主教徒。他們家的第五個小孩(Laszlo)則在四年後出生。

父親Jakab在喬治出生的五年前,把姓氏從Pollak改成聽起來比較像匈牙利文的Polya,因為他認為,這樣有助於他在大學裡找到工作。他也的確謀得大學裡的教職,但他不幸於1897年突然逝世,所以只在大學裡服務了一段很短的時間。

小波利亞在中學時期,除了匈牙利文之外,還選讀了希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是,他當時對數學並不特別感興趣,與他在文學、地理與其他科目的「傑出」表現相比,他在幾何學方面的表現只能算是「及格」而已。在文學之外,生物學則是他最喜歡的科目。

他於1905年就讀於布達佩斯大學(University of Budapest)法律系,不過,因為覺得很無聊,所以他很快就轉系了。之後,他取得了教師證書,可以在高中教授拉丁文與匈牙利文;雖然他從來沒有使用過這張教師證書,但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學,是因為他的指導教授亞歷桑德(Bernat Alexander)建議他,他應該選讀一些數學與物理的課程,以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說:「我的物理不行,哲學又太好──數學剛好在它們中間。」

波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什(Eotvos),數學老師是費耶(Fejer)。1910至1911學年度,他前往維也納大學,受沃廷格(Wirtinger)和梅藤斯(Mertens)兩位老師指導,隨後回到布達佩斯,取得博士學位。隨後的兩年,他大都留在哥廷根;在那裡,他結識了許多數學家,例如:克萊因(Klein)、卡拉泰奧多里(Caratheodory)、希爾伯特(Hilbert)、龍格(Runge)、蘭道(Landau)、魏爾(Weyl)、庫朗(Courant)和托普利茨(Toeplitz)。

接下來的1914年,他到巴黎訪問研究,並與皮卡(Picard)與阿達瑪(Hadamard)逐漸熟識,並得悉胡維茲(Adolf Hurwitz)幫他在蘇黎士安排了一個工作機會。他接受了這個工作機會,並在稍後寫到:「我之所以會到蘇黎士,是為了能與胡維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士,一直到他辭世〔1919年〕之前,有六年的時間,我們有緊密的合作關係。我對他印象非常深刻,並編輯他的許多作品。」

當然,就在此時發生了第一次世界大戰。起初,這對波利亞沒有很大的影響,因為早期的足球運動傷害,他已經申請免除從軍,但是後來戰情吃緊,需要更多的新兵加入戰場,匈牙利政府曾要求他回國從軍,為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點,因此拒絕了政府的要求,結果導致他有一段很長的時間被禁止回國;事實上,他一直到1976年才再次回到匈牙利,距離他離開祖國,已經54年了。

在這段期間,他入了瑞士國籍,並在1918年和瑞士女孩韋伯(Stella Vera Weber)小姐結婚。在1918和1919這兩年裡,他發表了許多篇的數學論文,涵蓋了許多不同的領域,例如:級數、數論、組合數學、投票表決系統、天文學,以及機率學等。他於1920年,升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院(ETH)副教授。稍後幾年,他與澤果(Gabor Szego)共同出版了《分析中的問題與定理》(Problems and Theorems in Analysis),在亞歷山德森(G. L. Alexanderson)和藍格(L. H. Lange)悼念波利亞而寫的傳記中,把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。

這本書於1925年問世。之後,波利亞得到洛克斐勒獎學金(Rockefeller Fellowship)並轉往英國工作,在那裡,他與哈地(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)共同合作,成果就是稍後出版的《不等式》(Inequalities,劍橋大學出版社1936年出版)。他利用第二次的洛克斐勒獎學金,於1933年前往普林斯頓大學訪問,當他還在美國的時候,應布利區費爾德(H. F. Blichfeldt)之邀,也到史丹福大學訪問;他非常喜愛史丹福,而史丹福最後也成了他的家。從1943年起,他獲聘為史丹福大學的教授,一直到1953年退休為止,但他繼續授課到1978年,開的最後一門課是組合數學。他於1985年9月7日逝世,享年97歲。

有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關,但都是非常專門的數學研究,不在數學領域裡的社會大眾,可能難以理解,不過,有些貢獻還是值得在此一提。

在機率理論裡,現在已經是公定用語的「中央極限定理」(Central Limit Theorem),就是波利亞的貢獻。此外,他也證明出機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數,以及證明了在整數晶格中隨機漫步(random walk)的機率接近1,若且唯若其維度的最大值為2。

在幾何學上,波利亞獨立地再次列舉出17個平面結晶體群(crystallographic groups);首次完成這項工作的人是費多羅夫(E. S. Fedorov),但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利(P. Niggli)合作,發展出這些結晶體群的記法。

在組合數學裡,波利亞的計數定理(Enumeration Theorem)現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。里德(R. C. Read)曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理,也是組合分析(combinatorial analysis)歷史上的重要里程碑」。

《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年(1940年),以德文寫成的。稍後,由於歐洲的情況,他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功,但是在普林斯頓大學出版社於1945年出版它的英文版之前,曾遭到四家出版社的拒絕。透過普林斯頓大學出版社,《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。

(本文作者為康威(John H. Conway),英國數學家,美國普林斯頓大學馮諾伊曼數學講座教授,生命遊戲(game of life)發明人)


【英文版初版序】

大發現解決大問題,然而,並不是只有大發現才有存在的價值;每一個問題的解答,都需要有某個「發現」才行。你所面臨的也許只是個小問題,但是如果它能引起你的好奇心,引發你的創造力,而且,如果你是用自己的方法來解決這個問題的,那麼,你一樣會經歷到發現過程中的緊張情緒,以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗,也許會讓年輕人培養出智性上的品味,甚至烙印在心裡,成為陪伴終生的一種性格。

因此,數學老師也就掌握了大好良機。如果他(她)在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算,那無異於扼殺了學生的興趣,阻礙了學生的智能發展,同時浪費了大好良機。但是,如果他(她)能夠掌握良機,刺激學生的好奇心,能夠因材「出題」,刺激學生思考,協助他們解決問題,如此一來,也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好,也學會獨立思考的方法。

如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話,可以說他們掌握了一個獨特的機會。然而,學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科,只要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話,那當然可說是坐失良機了。就算學生在數理上頗具天分,機會還是可能從指尖溜走,因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣,必須花點功夫探索自己的天分,培養自己的興趣。想想看,如果沒嚐過覆盆子派,哪裡會知道自己喜不喜歡呢?

然而,學生最後可能還是會發現,數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩,他們還可能發現解數學題時的心智活動,也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嚐過了數學的愉悅之處,就很難再忘記,而這樣一來,數學就有機會在他們的生命中占有一席之地,成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業,或幻化成他們的抱負。

筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年,對於數學與物理相關知識,有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀,試圖廣納老師所教以及書本上的知識,但是有個問題卻一再困擾著他。「嗯,沒錯,這樣解題似乎行得通,看起來是正確的答案,看起來也像是事實;但是這樣的解或事實是怎麼發現的?我要怎麼樣才能夠創造這些?就算不能創造,至少能夠自己發現這些解法?」

多年後的今天,筆者於大學任教,專門教授數學;他也希望自己的眾多學生中,能有一些積極進取的學生提出雷同的問題,而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖了解各種各樣問題的解答,還希望能了解這些解答背後的動機和過程;他還試著解釋這些動機和過程讓他人了解,而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師,提供一些實用的知識,也為那些想要發展自我解題能力的學生,提供實際的幫助。

儘管筆者主要是以數學系師生的需求為本書的關注點,但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人,這本書應該都能挑起大家閱讀的興趣。而這樣的人數量之多,可能完全出乎我們的意料,我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上,這情形似乎顯示了人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望,我們也許能夠推測:人們內心深處應該是有更深切的好奇心,也急於了解問題解答的方法、動機及解題過程。

後面各章節可說刻意寫得十分精確,但是盡量用淺顯易懂的方式來寫,儘管寫得簡單,仍然根據了長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啟發法」(heuristic),這種研究現今已經不再流行,但是由來已久,也許未來還會再領風騷呢。

在研究解題方法的過程中,我們察覺到數學的另一面。是的,數學有兩面,它不僅是嚴謹的歐幾里得學,還具有其他面向。以歐幾里得的方式所呈現的數學,看起來像是一門有系統的演繹科學;然而,發展中的數學,又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點,其實都跟數學本身的歷史一樣久遠,不過,從某個角度來說,第二個觀點顯得比較新鮮一些,因為這種「創造數學的過程」,從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。

「啟發法」所涵蓋的範圍,可說是五花八門;數學家、邏輯學家、心理學家、教育學家,甚至哲學家,都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當了解可能來自相反立場的批評,也很願意承認自己所知有限,在此只想說明一件事:他自己有一些解題的經驗,也有許多不同程度的數學授課經驗。

筆者也正致力於另外一本書,希望能對啟發法這門學問,作更進一步的探討。

寫於史丹福大學,1944年8月1日


【第二版序】

除了一些小修正之外,這一版主要新增了第四部「問題、提示與解答」。

就在本版即將付梓之際,一份由美國教育測驗服務社(ETS)所做的研究適切地指出一些現象(參考1956年6月18日的《時代》雜誌):「……數學很『光榮地』成為學校課程中,最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裡,學會怎麼討厭數學……長大之後,他們回到學校去,教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說,這也許不是什麼新鮮事,但的確是該讓社會大眾知道的時候了。

我希望本書的這一版,能夠更為普及,也可以讓某些讀者了解到,學習數學,除了是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外,也可以是有趣的,還可以開啟高階心智活動的大門。

寫於蘇黎士,1956年6月30日


【前言】

本書討論的重點,主要是針對「怎樣解題」提示表中的問題與建議。在本文中,遇到從提示表中直接引用的提問或建議,會以標楷體表示。

本書的主要內容,從討論我們整理這張「提示表」的目的開始,透過實際的例題,來說明如何使用這張表,以及解釋其中的觀念與相關的思考。用比較粗淺的解釋方式,我們可以這樣說:如果妥善使用這張表,仔細思考表中的提問與建議,對你的解題工作將會很有幫助。如果你能把這張表妥善運用到你的學生身上,那麼將會有助於他們的解題工作。

本書分成四個主要部分。

第一部的標題是「在教室裡」。這部分包含了20個小節。為方便交叉索引,我們將以「第一部第1節」或簡寫成「第1節」作為它們在本書中的「地址」。第1節到第5節,討論我們整理這張提示表的「目的」。第6節到第17節,說明這張表中的「主要步驟及提示問題」,並討論本書所舉的第一個例題。第18、19、20三個小節,則是列舉「更多的範例」。

第二部的篇幅很短,標題是「怎樣解題」。它以對話的形式,模擬師生之間針對「怎樣解題」的一段簡短的對話。

第三部為「啟發法小辭典」,占了本書最主要的篇幅,收列了67則短文或詞條。例如,「啟發法」的意義,就以一篇短文來做解釋。若有需要交叉參考的地方,會標示出類似「請參閱……」的字樣。某些比較專門、比較技術性的討論,會以*號標示出來,並附注說明。有一些詞條與第一部的內容較為相關,因而會包含更多的例題或更詳盡的解釋;某些詞條的內容與第一部沒有直接的關係,而是提供一些理解解題活動所需的背景知識。

其中最主要的一則是「現代啟發法」,它解釋了所有收錄在這部小辭典中的詞條之間的關係,以及如何從提示表中,找到某個特殊項目的方法。

有一點要特別強調一下,雖然這部小辭典的內容,表面上看起來差異頗大,但是在編撰的過程中,我們確實遵循一個共同的架構,而內容本身也有相當的統一性。有幾篇較長的短文,希望對於已經有過的簡短討論,作進一步且更有系統的討論;某些短文,則是包含一些特定主題的討論;另有一些則是單純的交叉索引,或是歷史陳述或小故事、名言佳句、格言,甚至也包括了笑話。

這部小辭典不應該以瀏覽的方式閱讀,它的文字大都很簡潔,有時候則是用很精緻的文字,來表達細微的思考部分。你可以用查閱的方式,來增加對特定主題的理解。如果這些特定的主題,是來自你自身的經驗,或是你的學生的經驗,那麼閱讀起來,應該會更有收穫。

第四部的標題是「問題、提示與解答」。它為比較認真或比較願意動腦筋的讀者,多列了幾道問題。每道問題都有個「提示」,希望能在解題的過程中,提供一點幫助。最後則是「解答」。

在全書的敘述中,我們一再地用到「學生」與「老師」這樣的字眼。比較好的方式,是把這個「學生」想像成是高中生或大學生,或只是正在學數學的人。同樣地,這位「老師」可以是一位高中老師,或大學老師,或是任何一位對數學教學技巧有興趣的人。筆者有時會從學生的觀點出發,有時則是從老師的觀點出發(本書的第一部大都以此角度出發)。然而大部分的時候,特別是在本書的第三部,筆者的角色只是熱切希望解決問題的人,既非學生,也不是老師。

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎樣解題」提示表
序 康威(John H. Conway)
前言

第一部:在教室裡
目的
第1節: 幫助學生
第2節: 提問、建議、心智活動
第3節: 普遍性第4節 常識
第5節:老師與學生、模仿與練習
主要步驟及主要提問
第6節: 四個階段
第7節: 了解問題
第8節: 例子
第9節: 擬定計畫
第10節: 例子
第11節: 執行計畫
第12節: 例子第
第13節 驗算與回顧
第14節: 例子
第15節: 不同的做法
第16節: 老師提問的方法
第17節: 好的提問與壞的提問
更多的例子
第18節: 作圖題
第19節: 證明題
第20節: 速率問題

第二部:怎樣解題 一段對話
認識問題
進一步了解問題
尋找有用的好想法
執行計畫回顧

第三部 啟發法小辭典
類比/輔助元素/輔助問題/波爾察諾/靈感/
你能驗算結果嗎?/你能用不同的方法導出這個結果嗎?/
你能運用這個結果嗎?/執行計畫/條件/矛盾/系理/
你能從已知數中找到什麼線索?/你可以把問題重述一遍嗎?/
分解與重組/定義/笛卡兒/決心、希望與成功/診斷/
你是否使用了所有的已知數?/你知道什麼相關的問題嗎?/
畫個圖/檢查你的猜測/圖形/一般化/你以前見過它嗎?/
這裡有個已經解決過的相關問題/啟發法/啟發式推理/
如果不能解決眼前的問題/歸納與數學歸納法/發明者的悖論/
這個解能否滿足所給的條件?/萊布尼茲/引理/仔細看未知數/
現代啟發法/符號與記法/帕普斯/拘泥與精通/實際的問題/
求解題與證明題/進展與成就/字謎/歸謬法與間接證法/多餘的/
例行性的問題/發現的法則/表達風格的守則/教學的守則/
把條件的各個部分分開/列方程式/進度的象徵/特殊化/潛意識的工作/
對稱/解題的術語/量綱檢驗法/未來的數學家/聰明的解題高手/
聰明的讀者/傳統的數學教授/改變問題/未知數是什麼?/
為什麼要證明?/諺語的智慧/倒推法

第四部:問題、提示、解答


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